Question

这个数学题怎么做

这个数学题怎么做要过程

Answer 1

设F1,F2分别是C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|，求a，b.
【考点】
椭圆的应用
【解析】
（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为
3
4
，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；
（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
【解答】
(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，
∴M的横坐标为c,当x=c时,y=b2a,即M(c,b2a)，
若直线MN的斜率为34，
即tan∠MF1F2=b2a2c=b22ac=34，
即b2=32ac=a2−c2，
即c2+32ac−a2=0，
则e2+32e−1=0，
即2e2+3e−2=0
解得e=12或e=−2(舍去)，
即e=12.
(Ⅱ)由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
设M(c,y),(y>0)，
则c2a2+y2b2=1,即y2=b4a2,解得y=b2a，
∵OD是△MF1F2的中位线，
∴b2a=4,即b2=4a，
由|MN|=5|F1N|，
则|MF1|=4|F1N|，
解得|DF1|=2|F1N|，
即DF1−→−=2F1N−→−
设N(x1,y1),由题意知y1<0，
则(−c,−2)=2(x1+c,y1).
即{2(x1+c)=−c2y1=−2,即⎧⎩⎨x1=−32cy1=−1
代入椭圆方程得9c24a2+1b2=1，
将b2=4a代入得9(a2−4a)4a2+14a=1，
解得a=7,b=27√.