高中数学求解
我做出的解答是 [-1 - 2 / e, 0)
直觉上来说，就是要求在[a, a+1]的区间上，f(x)需要有大于一个整数解。根据f(x)的形状，即可得出答案。解答中，- 2 / e 就是f(-1)的值。
详细再说几句。首先，|f(x) - a| + |f(x) - a - 1| = 1的意义。|f(x) - a| 相当于 f(x) 和 a之间的距离。 |f(x) - a| + |f(x) - a - 1| = 1 也就是说 f(x) 和 a的距离，加上f(x) 和 a + 1 之间的距离要等于1。这也就是要求 f(x) 在 [a, a+1] 的区间内。
这里用到了绝对值的直观距离解释。这个想法很重要，常常能帮助解题。
有了这一步，接下来就是画出函数的形状，看图说话了。
1) 首先，a不能>=0，这从图上就能看出。f(x) >= 0 (也就是x >= 1)之后，函数是指数及上升，f(x + 1) - f(x) = x * e^(x + 1) - (x - 1) * e ^ x > x * e^x - (x - 1) * e ^ x > e ^ x > 1，任何两个相邻x的距离都大于1，不能卡在（a, a + 1）的区间内。
2) 其次, a 不能 < -1 - 2/e,。如果 a < -1 - 2/e, 则最多方程只有x = 0 一个解。任何其他的f(x)都将大于f(-1) = -2 / e，从而脱出 [a, a + 1] 的范围。
3) 如果-1 - 2/e <= a <= -1, 则方程至少有 x=0 和 x=-1 两个解。
4) 如果-1 < a < 0, 则方程至少有 x=1， 和一个相当小（趋近于-∞）的解。这是因为当x->∞时，f(x)趋近于0-，从而满足f(x) >= a。
故而解答就是[-1 - 2 / e, 0)
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希望这些能够帮到你，如果有别的课业问题，任何科目，都欢迎向我提问。以上解释有任何不清楚的，也欢迎向我提问。
f'(x)=e^x·(x-1)+e^x·1=x·e^x
x∈(-∞,0),f'(x)<0,f(x)在其上单减,值域(-1,0)
x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)在其上单增,值域(-1,+∞)
f'(0)=0
f(-2)=-3/e²,f(-1)=-2/e,f(0)=-1,f(1)=0,f(2)=e²
|f(x)-a|+|f(x)-(a+1)|
≥|(f(x)-a)-(f(x)-(a+1))|=1
当(f(x)-a)·(f(x)-(a+1))≤0
即 a≤f(x)≤a+1时取"="
得方程|f(x)-a|+|f(x)-(a+1)|=1的解集
就是 不等式 a≤f(x)≤a+1的解集
由f(x)的图像可得:
1)a<-2
a≤f(x)≤a+1 无整数解
2)-2≤a<(-2/e)-1
a≤f(x)≤a+1 只有1个整数解0
3)(-2/e)-1≤a<(-3/e²)-1
a≤f(x)≤a+1 恰有2个整数解-1,0
4)(-3/e²)-1≤a<0
a≤f(x)≤a+1 至少有3个整数解
5)a≥0
a≤f(x)≤a+1 最多有1个整数解
所以 a的取值范围是[(-2/e)-1,(-3/e²)-1)
此题比较巧合 特意设计的题
