已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)满足条件f(—x+5)=f(x-3),f(2)=0,且方程f(x)=x有两个
根,问是否存在实数m。n(m<n),使得f(x)的定义域为【m,n】时,值域为【3m,3n】如果存在,求出m,n值;如果不存在说明理由解得好我加分!!!!谢谢啊...
根,问是否存在实数m。n(m<n),使得f(x)的定义域为【m,n】时,值域为【3m,3n】
如果存在,求出m,n值;如果不存在说明理由 解得好我加分!!!!谢谢啊 展开
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解:
1)
由f(-x+5)=f(x-3)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-1/2x^2+x;
2)分别讨论:
若1=<m<n 有函数的单调性可知:
3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8 m^2-8m+48=0 m,n无解;
若m<n<=1 又单调性知 3m=-1/2m^2+m 3n=-1/2n^2+n
此时m=-4 n=0满足条件;
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/6;
所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m,n
m=-4 n=0
1)
由f(-x+5)=f(x-3)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-1/2x^2+x;
2)分别讨论:
若1=<m<n 有函数的单调性可知:
3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8 m^2-8m+48=0 m,n无解;
若m<n<=1 又单调性知 3m=-1/2m^2+m 3n=-1/2n^2+n
此时m=-4 n=0满足条件;
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/6;
所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m,n
m=-4 n=0
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