Question

求一道积分放缩法证明不等式

不要数学归纳感谢！！！怎么积分放缩可以证明这个不等式呢！！ 谢谢大家！

Answer 1

分享一种解法。设f(x)=lnx。设An=∫(1,n)lnxdx。∴An=nlnn-n+1①，即x=1、x=n与f(x)=lnx曲线围成的面积。

取f(x)的外切梯形，切点为(i,lni)。将x=1到n分成区间0-1/2、1/2-3/2、5/2-5/2、…、(n-1/2)-(n+1/2)。∴外切梯形的面积Tn=1/8+ln2+…+ln(n-1)+(1/2)lnn=1/8+ln(n!)-(1/2)lnn②。

显然，Tn>An。∴1/8+ln(n!)-(1/2)lnn>nlnn-n+1，即ln(n!)>(n+1/2)lnlnn-n成立。

定义

斯特林公式（Stirling's approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说，阶乘的计算复杂度为线性。当要为某些极大大的n求阶乘时，常见的方法复杂度不可接受。斯特林公式能够将求解阶乘的复杂度降低到对数级。而且，即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。

Answer 2

分享一种解法。设f(x)=lnx。设An=∫(1,n)lnxdx。∴An=nlnn-n+1①，即x=1、x=n与f(x)=lnx曲线围成的面积。
取f(x)的外切梯形，切点为(i,lni)。将x=1到n分成区间0-1/2、1/2-3/2、5/2-5/2、…、(n-1/2)-(n+1/2)。∴外切梯形的面积Tn=1/8+ln2+…+ln(n-1)+(1/2)lnn=1/8+ln(n!)-(1/2)lnn②。
显然，Tn>An。∴1/8+ln(n!)-(1/2)lnn>nlnn-n+1，即ln(n!)>(n+1/2)lnlnn-n成立。
供参考。