Question

在三角形ABC中，2√3 sinAsinBsinC=sin²A+sin²B+sin²C

求角C的大小

Answer 1

解：这是一个轮换对称函数，为了简化运算，根据函数中存在√3可以推断：至少一个角A、或B、或C=π/3或者2π/3；令sinC=√3/2，则C=π或者2π/3；这样等式变为：
sin^2A+sin^2B+3/4-3sinAsinB=(sinA-sinB)^2+3/4-sinAsinB=0;
(注意：这是二次函数，因此，必须对于A或者B求出两个根，才能完成方程的解，否则，答案可能会出错。)
从式中可以看出：（1）当A=0,B=2π/3时，等式成立；因为ABC为三角形ABC 的三个顶角，任何一个角都不能为0，所以，不合题意，舍去。
（2）当A=B=π/3时，等式成立；此时，C=π/3;因此三角形ABC为等边三角形。C=π/3。
对于任何三元轮换对称函数，求出的每一个元得数，都可以与其他二元进行条换，等式不变。