Question

）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作B

2013?临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

1、∵AD是BC边上的中线，点E是AD的中点
∴BD=CD，AE=DE
∵AF∥BC
∴∠F=∠EBD，∠FAE=∠BDE
∴△AFE≌△DBE(AAS)
∴AF=BD=CD
即CD=AF
2、∵AF=CD，AF∥CD
∴AFCD是平行四边形
∴只要∠ADC=90°，AFCD是矩形
∵∠ADC=90°，即AD⊥BC
AD是中线
即∠ADC=∠ADB=90°
AD=AD，BD=CD
∴△ADB≌△ADC(SAS)
∴AB=AC
即△ABC是等腰三角形时，四边形AFCD是矩形
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Answer 2

(1)由题意可知，AF∥BC，E为AD中点，
∴∠CBE=∠AFE，AE=DE
∵∠FEA=∠BED
∴△DEB≌△AEF
∴AF=BD=CD
(2)由第一问可知，AF∥CD，且AF=CD
∴四边形ADCF为平行四边形
又∵AB=AC，AD是BC边上中线
∴AD⊥BC
∴四边形ADCF为矩形

Answer 3

解答见下图

Answer 4

证△AFE≌△DBE(两角夹边)得AF=BD，
而BD=DC，所以AF=DC。
因为AF平行且等于DC，所以ADCF是平行四边形。