Question

多元函数微分这题，为什么ΔZ=f(x,y),极限又为什么不存在

如图Δz不应该是f(Δx,Δy)么，第二行极限为什么不存在

Answer 1

最右端的极限不存在是由于，当(x,y)沿着直线y＝kx趋于(0,0)时，其极限是k/(1+k^2)，当k不同时，极限值不相同。也就是说，沿着不同的路径y＝kx趋于(0,0)时极限值不同，当然极限就不存在了。

追问

啊啊！想起来了，那那个Δz怎么出来的呢

追答

Δz称为全增量，Δz＝f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

追问

对啊，题中给的是x,y都趋于0。那么Δz不就是f(Δx,Δy)了么，为什么是f(x,y)

追答

有一个定理的内容是：f(x,y)在点(a,b)可微的充要条件是：Δz-f(x,y)在(a,b)关于x的偏导数乘以x-f(x,y)在(a,b)关于y的偏导数乘以y的极限是0

原题解法就是利用这个定理解的。你求出f(Δx,Δy)对判断可微性没用

Answer 2