Question

求轨迹方程

已知圆X2+Y2=4上的一定点A（2，0），B（1，1）为圆内的一点，P、Q为圆上的动点。
（1）求线段AP中点的轨迹方程
（2）若角PBQ=90度，求线段PQ中点的轨迹方程。
第二个问不会，请帮忙详细解答。

Answer 1

连接RP,RO(O为原点)
在角PBQ=90度，则三角形PBQ为直角三角形且R为PQ中点，则PR=RB
PR=QR(R为AB中点)所以角PRO为直角（垂径定理）
在直角三角形PRO中，OR^2+PR^2=PO^2，其中PB^2=(X-1)^2+(X-1)^2,,RO^2=X^2+Y^2，PO=2
设R坐标为（x，y），则有
x^2+y^2+(x-1)^2+(y-1)^2=4
整理得，(x-0.5)^2+y(-0.5)^2=1.5
所以PQ中点R的轨迹方程为，(x-0.5)^2+y(-0.5)^2=1.5

Answer 2

第二问的

连接RP,RO(O为原点)
在角PBQ=90度，则三角形PBQ为直角三角形且R为PQ中点，则PR=RB
在三角形POR和三角形QOR中，PO=QO（P、Q在同一圆上）,OR=OR，PR=QR(R为AB中点)，则三角形POR和三角形QOR全等，所以角PRO为直角
在直角三角形PRO中，OR^2+PR^2=PO^2，其中PR=RP,PO=2
设R坐标为（x，y），则有
x^2+y^2+(x-4)^2+y^2=4
整理得，(x-2)^2+y^2=14
所以PQ中点R的轨迹方程为：(x-2)^2+y^2=2