Question

相关函数的性质

Answer 1

1.自相关函数的性质

信号f(t)的自相关函数存在的条件是

因此对于任何τ，有

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自相关函数的波形如图8-2-1所示

(1)|r₁₁(τ)|在τ=0时达到最大值，即

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从相似性角度考虑，当τ=0时，两个波形完全相同并重合，一个波形和它自身最相关，所以r₁₁(0)最大，在图8-2中为主峰。

(2)r₁₁(τ)为偶函数，即

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这是因为

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令u=t-τ，则t=u+τ，

于是

图8-2-1 函数x(t)自相关的波形

(3)当τ→∞时，r₁₁(τ)→0。事实上当τ→∞时，两个波完全分开，因而不相关。

(4)自相关函数与信号的波形无关，只与信号所包含的频率成分|F(ω)|有关，即r₁₁(τ)只与信号的振幅谱有关，与相位谱(ω)无关。因此具有相同自相关函数的信号，具有相同的振幅谱或功率谱;具有相同振幅谱不同相位谱的信号，可以有相同的自相关函数。

2.互相关函数的性质

设f(t)、h(t)都是能量有限的信号，它们的互相关函数有如下性质:

(1)

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这是因为

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由前述，r₁₂(τ)≠r₂₁(τ)，因此r₁₂(τ)≠r₁₂(-τ)，即r₁₂(τ)不是偶函数。实际上r₁₂(τ)是r₂₁(τ)对纵轴的反转。

(2)

证明由许瓦兹不等式得

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说明:互相关函数的极值不一定在τ=0处，它的极值大小为 。图8-2-2为两道地震记录的互相关函数的图形，极值出现在τ=τ_m处。

图8-2-2 两道记录互相关函数的图形

(3)当τ→∞时，r₁₂(τ)→0，解释同自相关

(4)互相关函数只包含信号f₁(t)与f₂(t)所共有的频率成分，见图8-2-3。

因为，

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所以

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3.相关与褶积的关系

函数f₁(t)与f₂(t)的互相关可写为

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令t-τ=-m，有t=τ-m，代入上式，τ为参量，

图8-2-3 互相关函数及其频谱

因而

则

令q(m)=f₂(-m)，

则

即将信号f₂(t)的镜像与f₁(t)作褶积，就得到它们的相关函数，这是相关与褶积的共同点。另外，做上式的褶积时，将f₂(-τ)翻转为f₂(τ)，相当于对f₂(τ)不做翻转。所以只要在f₁(t)与f₂(t)的褶积运算中略去翻转过程就得到它们的相关函数，这是相关与褶积的不同点。

设x(t)与y(t)的频谱为X(f)与Y(f)，其Z变换为X(Z)，Y(Z)，假定y_n的翻转信号y_-n的频谱为Y^*(f)，因为y_-n的频谱为

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y_-m的Z变换为

设r_xy(n)的频谱为R_xy(f)，r_xy(n)的Z变换为 ，对(8-2-6)式两端分别求频谱则有

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对(8-2-6)式两端分别求Z变换则有

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自相关函数r_xx的频谱为R_xx(f)为

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显然，自相关函数r_xx的频谱R_xx(f)就是x_n的能谱|X(f)²|。

根据(8-2-6)和(8-2-7)式知道，x_n与y_n做互相关，就相当于用y_-n或Y^*(f)对x_n做滤波;反过来，用h_n对x_n做滤波，就相当于用h_-n对x_n做互相关。这说明尽管褶积与互相关是从研究不同的问题提出来的，但二者的实质相同，相关是一种褶积，褶积也是一种相关。