
圆锥与圆锥曲线问题
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解:不妨设抛物线y=ax ²-1 (a≠0)上的两点M,N关于直线x+y=0对称。
则直线MN必与直线x+y=0垂直。
故可设直线MN:y=x+t. (t∈R).
∴此时可设点M(x1,x1+t), N(x2,x2+t). (x1≠x2).
联立抛物线y=ax ²-1与直线MN:y=x+t. 可得:
ax ²-x-(t+1)=0.
一方面,该方程必有两个不相等的实数根x1,x2.
∴⊿=1+4a(t+1) >0.
另一方面,由韦达定理可得x1+x2=1/a. ∴由“线段中点坐标公式”可知,线段MN的中点
P(1/2a, t+(1/2a)).
由题设可知,线段MN的中点P必在直线x+y=0上,
∴(1/2a)+[t+(1/2a)]=0. ∴t=-1/a.
把t=-1/a代入不等式1+4a(t+1) >0中,可得1+4a[1-(1/a)] >0.
∴1+4a-4>0.
∴a>3/4.
则直线MN必与直线x+y=0垂直。
故可设直线MN:y=x+t. (t∈R).
∴此时可设点M(x1,x1+t), N(x2,x2+t). (x1≠x2).
联立抛物线y=ax ²-1与直线MN:y=x+t. 可得:
ax ²-x-(t+1)=0.
一方面,该方程必有两个不相等的实数根x1,x2.
∴⊿=1+4a(t+1) >0.
另一方面,由韦达定理可得x1+x2=1/a. ∴由“线段中点坐标公式”可知,线段MN的中点
P(1/2a, t+(1/2a)).
由题设可知,线段MN的中点P必在直线x+y=0上,
∴(1/2a)+[t+(1/2a)]=0. ∴t=-1/a.
把t=-1/a代入不等式1+4a(t+1) >0中,可得1+4a[1-(1/a)] >0.
∴1+4a-4>0.
∴a>3/4.

2024-11-19 广告
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