Question

线性代数问题 求解 答得好加分

Answer 1

我来试试吧。。
1、解：
（1）∵A^3=0
∴|A|^3=0
∴|A|=0，即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征
设λ为矩阵A的任一特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx
上式两边同左乘矩阵A，得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x
∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值。同理，λ^3是矩阵A^3的特征值。
即(A^3)x=(λ^3)x
又∵A^3=O,∴(A^3)x=(λ^3)x=0
∵x≠0
∴λ^3=0
即λ=0
即三阶方阵A的3个特征值全为0.
（2）这题我觉得不能。
∵矩阵A能和对角阵相似的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。
对于题中的三阶方阵A，由（1）的讨论可知其三个特征值全为0.
下面用反证法证明。
假设三阶方阵A能与对角阵相似。
则A存在3个线性无关的特征向量。
则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有三个向量，即Ax=0的解集的秩为3
设Ax=0的解集为S，则R(A)
R(S)=n=3
∵R(S)=3,∴R(A)=0
即矩阵A的秩为0.当且仅当A=O
又∵根据题设条件，A^2≠O,显然A≠O，与上面推出的A=O矛盾
∴假设不成立，即A不能和一个对角阵相似
2、证明：
设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1，α2，...，αr，设其基础解系的秩为r
设向量组β1，β2，...，βn是与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组
∵向量组β1，β2，...，βn线性无关
∴向量组的秩R(β1，β2，...，βn)=n
又∵向量组α1，α2，...，αr与向量组β1，β2，...，βn等价
∴R(α1，α2，...，αr)=R(β1，β2，...，βn)=n
即n=r
向量组β1，β2，...，βn中有r个向量β1，β2，...，βr
且向量组β1，β2，...，βr可由向量组α1，α2，...，αr线性表示
即对于其中任何一个向量βi=ki1*α1
ki2*α2
...
kir*αr
∴向量组β1，β2，...，βr中的每一个向量都是齐次线性方程组Ax=0的一个解向量
又∵齐次线性方程组Ax=0的解集中的最大无关组的秩为r
∴向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的解集中的一个最大无关组
即向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的一个基础解系，命题得证
不懂写的对不对。我也刚学的。错了请指教。。