Question

当x不等于0时f(x)=(((1+x)^(1/x))-e)/x 当x=0时,f(x)=a,f(x)在x=0处连续,试求a的值.

Answer 1

依题意，因为f(x)在x＝0连续，所以Lim(x→0)f(x)=a
lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim(x→0){e^[(1/x)ln(1+x)]-e}/x
=lim(x→0){e^[ln(1+x)/x]-e}/x
=e×lim(x→0){e^[ln(1+x)/x-1]-1}/x
【等价无穷小替换，见后面备注】
=e×lim(x→0){[ln(1+x)/x]-1}/x
=e×lim(x→0)[ln(1+x)-x]/x²(洛必达法则)
=e×lim(x→0)[1/(1+x)-1]/(2x)
=e×lim(x→0)(-x)/[2x(1+x)]
=-e/2
【备注】等价无穷小代换：
e^x-1～x(x→0)，令x=ln(1+x)/x-1，因为
lim(x→0)[ln(1+x)/x-1]
=lim(x→0)[ln(1+x)-x]/x(洛必达法则)
=lim(x→0)[1/(1+x)-1]/1
=0
故e^[ln(1+x)/x-1]-1～ln(1+x)/x-1(x→0，即ln(1+x)/x-1→0
所以a=-e/2