Question

设向量组α1，α2，…，αs-1（s≥3）线性无关，向量组α2，α3，…，αs线性相关，则（　　）A．α1可被

Answer 1

由向量组α2，α3，…，αs线性相关，知向量组α1，α2，…，αs-1，αs线性相关
因此存在一组不全为零的实数ki（i=1，2，…，s），使得
k1α1+k2α2+…+ksαs=0
①若ks=0，则上式变为
k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1=0
这样实数ki（i=1，2，…，s-1）不全为零，
从而向量组α1，α2，…，αs-1线性相关，这与已知矛盾
故ks≠0
所以αs＝?
1
ks
(k1α1+k2α2+…+ks?1αs?1)
即αs可被α1，α2，…，αs-1线性表示
②若k1≠0，则α1可被α2，α3，…，αs线性表示
此时r（α2，α3，…，αs）=r（α1，α2，α3，…，αs）
而向量组α2，α3，…，αs线性相关，因而
r（α2，α3，…，αs）＜s-1
从而r（α1，α2，α3，…，αs）＜s-1
又已知向量组α1，α2，…，αs-1线性无关，可得r（α1，α2，α3，…，αs）＞s-1
矛盾
故k1=0，即α1不可被α2，α3，…，αs线性表示
故选：C