Question

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上, 离心率e=√2/2,直线L过焦点且与x轴的夹角为π/3.L与椭圆交Y与AB。

AB=8√2求椭圆方程

Answer 1

设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,a>b,
e=c/a=√2/2,a=√2c,b=a√2/2,
则方程为：x^2/a^2+2y^2/a^2=1,
右焦点坐标F2（√2a/2,0),
直线方程为：y=√3(x-√2a/2),
代入椭圆方程，
x^2/a^2+2*[√3(x-√2a/2)]^2=1,
7x^2-6√2ax+2a^2=0,
根据韦达定理，
x1+x2=6√2a/7,
x1*x2=2a^2/7,
根据弦长公式，|AB|=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+3)[(x1+x2)^2-4x1*x2]
=2√{72a^2/49-8a^2/7)
=8a/7,
其中k为直线斜率为tanπ/3=√3，
8√2=8a/7,
a=7√2,
故椭圆方程为：x^2/98+y^2/49=1.