Question

定积分与连续

Answer 1

函数f(X)在[a,b]上连续是定积分存在的充分但不必要条件。
f(X)在[a,b]上连续的时候，定积分的话存在的，所以是充分条件。
但是如果f(X)在[a,b]上不连续，而是有可去间断点或跳跃间断点的时候，定积分仍然存在。
所以不是必要条件。
所以，函数f(X)在[a,b]上连续是定积分存在的充分但不必要条件。

Answer 2

利用换元就很简单。令x^2-t^2=u,∫(0,x)tf(x^2-t^2)dt(凑微分把tdt凑成1/2t^2)=1/2∫(0,x)f(x^2-t^2)dt^2=
【换元换限，是从x到0积分】1/2∫(x,0)f(u)d(x^2-u)=-1/2∫(x,0)f(u)du=1/2∫(0,x)f(u)du，原式微分后得到1/2f(x).
所以答案：原式=1/2f(x).