Question

为什么减函数减去一个减函数为增函数？

Answer 1

减函数减减函数不一定是增函数
增函数减增函数也不一定。

但是减函数加减函数一定等于减函数，增函数加增函数一定等于增函数。
下面给出证明：
设f(x),g(x)是（a,b）内的减函数，a<x1<x2<b
设h(x)=f(x)+g(x)
则h(x1)-h(x2)=f(x1)+g(x1)-[f(x2)+g(x2)]

=f(x1)-f(x2)+[g(x1)-g(x2)]
∵f(x),g(x)是减函数，x1<x2
∴f(x1)>f(x2)
g(x1)>g(x2)
∴h(x1)-h(x2)>0
f(x1)>f(x2)
∵x1<x2,
∴h(x)在（a,b）上是减函数
同样的方法，设f(x),g(x)是（a,b）上的增函数，h(x)=f(x)+g(x),可证明h(x)在（a,b）上也是增函数。
这两个命题有两个推论：
1.增函数-减函数=增函数
2.减函数-增函数=减函数
证法也一样。

至于减函数-减函数和增函数-增函数的结果，楼主到高三学完导函数之后就可以容易判断了。现在只能依靠定义法，设元，作差，变形，才可能判断。

Answer 2

减函数减减函数不一定是增函数增函数减增函数也不一定。
但是减函数加减函数一定等于减函数，增函数加增函数一定等于增函数。下面给出证明：设f(x),g(x)是（a,b）内的减函数，a<x1<x2<b设h(x)=f(x)+g(x)则h(x1)-h(x2)=f(x1)+g(x1)-[f(x2)+g(x2)]
=f(x1)-f(x2)+[g(x1)-g(x2)]∵f(x),g(x)是减函数，x1<x2∴f(x1)>f(x2)
g(x1)>g(x2)∴h(x1)-h(x2)>0
f(x1)>f(x2)∵x1<x2,∴h(x)在（a,b）上是减函数同样的方法，设f(x),g(x)是（a,b）上的增函数，h(x)=f(x)+g(x),可证明h(x)在（a,b）上也是增函数。这两个命题有两个推论：1.增函数-减函数=增函数2.减函数-增函数=减函数证法也一样。
至于减函数-减函数和增函数-增函数的结果，楼主到高三学完导函数之后就可以容易判断了。现在只能依靠定义法，设元，作差，变形，才可能判断。

Answer 3

减函数减减函数不一定是增函数增函数减增函数也不一定。
但是减函数加减函数一定等于减函数，增函数加增函数一定等于增函数。下面给出证明：设f(x),g(x)是（a,b）内的减函数，a<x1<x2<b设h(x)=f(x)+g(x)则h(x1)-h(x2)=f(x1)+g(x1)-[f(x2)+g(x2)]
=f(x1)-f(x2)+[g(x1)-g(x2)]∵f(x),g(x)是减函数，x1<x2∴f(x1)>f(x2)
g(x1)>g(x2)∴h(x1)-h(x2)>0
f(x1)>f(x2)∵x1<x2,∴h(x)在（a,b）上是减函数同样的方法，设f(x),g(x)是（a,b）上的增函数，h(x)=f(x)+g(x),可证明h(x)在（a,b）上也是增函数。这两个命题有两个推论：1.增函数-减函数=增函数2.减函数-增函数=减函数证法也一样。
至于减函数-减函数和增函数-增函数的结果，楼主到高三学完导函数之后就可以容易判断了。现在只能依靠定义法，设元，作差，变形，才可能判断。

Answer 4

设f(x)在定义域上是增函数,g(x)在定义域上是减函数
令h(x)=f(x)-g(x)
设x1f(x)在定义域上是增函数,所以有f(x1)g(x)在定义域上是减函数,所以有g(x1)>g(x2)
即有g(x2)-g(x1)于是h(x1)-h(x2)=[f(x1)-g(x1)]-[f(x2)-g(x2)=[f(x1)-f(x2)]+[g(x2)-g(x1)]所以h(x)在定义域上是增函数