Question

如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D点是AC上任意一点,DE⊥AB于E,连结

如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D点是AC上任意一点,DE⊥AB于E,连结BD,取BD中点F，连接CF,EF,CE。
1）判断△CEF的形状，说明理由；
2）若将△ADE绕点A逆时针旋转45°，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立请证明

Answer 1

（1）首先：判断出△CDB和△DEB为直角三角形，且BD边为斜边，F为斜边上的中点，根据直角三角形的性质，可以判断出CF=DF=FB=EF=0.5D；根据三角形的性质，可知∠CFD=∠FBC+∠BCF=2∠FBC；同理，∠DFE=∠FBE+∠BEF=2∠FBE；则∠CFE=∠CFD+∠DFE=2(∠FBC+∠FBE)=2∠CBE=2X45°=90°，所以：△CEF为等腰直角三角形。
（2）、把△ADE绕点A逆时针旋转45°后，△DAB仍为直角三角形，F为斜边BD中点，AF=0.5BD，但是△DCB已经不是直角三角形了，因为∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠DCA+90°>90°，所以也不能判断出CF=AF，所以（1）中结论不成立。只有当∠DCA=0°时，也就是D点与A点重合时才成立。