Question

三角形ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.已知A减C等于90度.a加b等于根号2b 求角C

Answer 1

a-c=90`，则a=c+90`
sina=sin(90`+c)=cosc
根据正弦定理，a=bsina/sinb=bcosc/sinb
c=bsinc/sinb
由于a+c=√2b
于是bcosc/sinb+bsinc/sinb=√2b
cosc/sinb+sinc/sinb=√2
两边同乘以sinb得，cosc+sinc=√2sinb
两边同除以√2得，cosc/√2+sinc/√2=sinb
分母有理化得，(√2/2)cosc+(√2/2)sinc=sinb
sin45`cosc+cos45`sinc=sinb
利用正弦的和角公式得，sin(45`+c)=sinb
于是45`+c=b或45`+c=180-b
[同角或等角的正弦相等，互补角的正弦也相等]
由于a+b+c=180`
于是，若45`+c=b
而已知a=c+90`
于是c+90`+c+45`+c=180`
3c=45`
c=15`
若c+45`=180-b即b=180`-45`-c=135`-c
而已知a=90`+c
则90`+c+135`-c+c=180`，出现负角，不合题意，舍去。
所以c=15`

Answer 2

a+c=根号2b。
sinA+sinC=根号2sinB,
sin(90+C)+sinC=根号2sin(A+C),
cosC+sinC=根号2sin(90+2C),
cosC+sinC=根号2cos2C,
cosC+sinC=根号2(cos^2C-sin^2C)
cosC+sinC=根号2(cosC+sinC)(
cosC-sinC)
由已知C是锐角，所以根号2(
cosC-sinC)=1，
2cos
(C+45)
=1，C+45=60,C=15度.