解这个微分方程，谢谢! 10
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求微分方程 y'=-y+x+1满足初始条件y(0)=1的特解；
解：先求齐次方程 y'=-y的通解。
分离变量得：dy/y=-dx，积分之得：lny=-x+lnc₁；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)；
将c₁换成x的函数u，得y=ue^(-x)..........①; 取导数得：y'=u'e^(-x)-ue^(-x)..........②
将①②代入原式得: u'e^(-x)-ue^(-x)=-ue^(-x)+x+1;
化简得：u'e^(-x)=x+1；故u=∫[(x+1)e^(x)dx=∫(x+1)d(e^x)
=[(x+1)e^(x)-∫e^(x)dx]=(x+1)e^x-e^x+c=xe^x+c..........③;
将③式代入①式即得原方程的通解为：y=x+ce^(-x);
代入初始条件即得c=1；故特解为：y=x+e^(-x)；
解：先求齐次方程 y'=-y的通解。
分离变量得：dy/y=-dx，积分之得：lny=-x+lnc₁；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)；
将c₁换成x的函数u，得y=ue^(-x)..........①; 取导数得：y'=u'e^(-x)-ue^(-x)..........②
将①②代入原式得: u'e^(-x)-ue^(-x)=-ue^(-x)+x+1;
化简得：u'e^(-x)=x+1；故u=∫[(x+1)e^(x)dx=∫(x+1)d(e^x)
=[(x+1)e^(x)-∫e^(x)dx]=(x+1)e^x-e^x+c=xe^x+c..........③;
将③式代入①式即得原方程的通解为：y=x+ce^(-x);
代入初始条件即得c=1；故特解为：y=x+e^(-x)；
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