Question

大学数学分析：证明二元函数极限不存在

Answer 1

沿y=x趋于(0,0)时，只要把y=x代人极限表达式中即可，这样就变为求一元函数的极限了，代人结果为lim2x^3/(x^2+x)，x趋于0时分子是比分母更高阶的无穷小，自然极限等于0。注意这种取特殊路径的方法只能用来证明二重极限不存在，但证明不了极限存在，因为你无法把所有可能的路径都试过来，有反例表明，即使f(x,y)沿任意直线y=kx趋于(0,0)时极限都存在且相等，在原点处二重极限limf(x,y)仍可能不存在。因此取特殊路径的方法都是用来证明极限不存在的，根据二元函数的特点，选两条路径，使得把路径的方程代人后，所得的一元函数的极限容易计算，且结果不相等（或有其中之一不存在），这就是选路径的大致原则。