Question

如何计算三重积分∫∫∫dV

Answer 1

先换元再积分，并使用对称性。令x＝u+a，y=v+b，z=w+c，区域变成球体：u^2+v^2+w^2≤a^2。
积分＝∫∫∫[(u^2+v^2+w^2)+(2au+2bv+2cw)+(a^2+b^2+c^2)]dV，其中∫∫∫[(u^2+v^2+w^2)dV用球面坐标，∫∫∫(2au+2bv+2cw)dV用对称性是0，∫∫∫(a^2+b^2+c^2)]dV直接就有结果了。

Answer 2

令x=rsinψcosθ，y=rsinψsinθ，z=rcosψ
那么
∫∫∫√(x²+y²+z²)dxdydz
=∫∫∫(r*r²sinψ)drdψdθ
=∫∫∫(r³sinψ)drdψdθ
积分区域：
由x²+y²+z²≤x得：0≤r≤sinψcosθ
0≤ψ≤π，-π/2≤θ≤π/2
∫∫∫(r³sinψ)drdψdθ
=∫dθ∫dψ∫(r³sinψ)dr
=(1/4)*∫(cosθ)^4dθ*∫(sinψ)^5dψ鸡甫惯晃甙浩轨彤憨廓
在0≤ψ≤π上∫(sinψ)^5dψ，相当于0≤ψ≤π/2上2∫(sinψ)^5dψ=2*(4/5)*(2/3)=16/15
在-π/2≤θ≤π/2上∫(cosθ)^4dθ，相当于0≤ψ≤π/2上2∫(cosθ)^4dθ=2*(3/4)*(1/2)*(π/2)=3π/8
故，原式=(1/4)*∫(cosθ)^4dθ*∫(sinψ)^5dψ=(1/4)*(3π/8)*(16/15)=π/10