Question

若对任意实数x都有f（x+2）=1/f（x），f（1）=-5则f[f（x）]=？

Answer 1

用换元法可以证明函数是周期为4的周期函数，可以知道x为奇数时对应的所有函数值，但无法确定f(x)表达式
解：因为f(x
2)=1/f（x），
所以f（x）=1/f（x
2）=f（x
4）
所以当x=1时，f（1）=f（5）=-5
所以f[f（5）]=f（-5）
当x=-5时，f（x
4）=f（-1）
当x=-1时，1/f（x
2）=1/f（1）=-1/5
将x
2看成一个x值，由1/f（x）=f(x
2)得1/f（x
2）=f（x
2
2）=f（x
4）。
(条件是f(1)=-5吧)
f(x
2)=1/f(x)
∴f(x
4)=f(x
2
2)=1/f(x
2)=1/[1/f(x)]=f(x)
∴f(x)是周期为4的函数
∴f(5)=f(5-4)=f(1)=-5
∴f(f(5))=f(-5)=f(-5
2×4)=f(3)=f(1
2)=1/f(1)=1/(-5)=-1/5
即f(f(5))=-1/5