Question

请教一道高中数学数列题

设A1=2，An+1=2/（1+An），求An通项。。
求详解，感激不尽。。。。
求解答过程..谢...

Answer 1

设实数x
A(n+1)+x=2/(A(n)+1)+x
=(xA(n)+x+2)/(A(n)+1)
等式两端同时取倒数，得
1/(A(n+1)+x)=(A(n)+1)/(xA(n)+x+2)
令分母上A(n)的系数和常数项成比例，即：
1/x=x/(x+2)
解得x=-1或x=2 (我个人比较倾向写正的，其实写负的也可以)
原式可化为：1/(A(n+1)+2)=(A(n)+1)/(2A(n)+4)=0.5[(A(n)+2-1)/(A(n)+2)]=0.5[1-1/(A(n)+2)]
令Bn=1/(A(n)+2)
则：
B(n+1)=0.5-0.5B(n)
设实数y
B(n+1)+y=-0.5(B(n)+y)
解得y=-1/3
设C(n)=B(n)-1/3
则：C(n+1)=-0.5C(n)
于是C(n)通项可求，B(n)可求，A(n)可求

Answer 2

An+1=2/（1+An）的特征方程x=2/(1+x),有两个根x=-2,x=1
A(n+1)+2=(4+2An)/(1+An)
A(n+1)-1=(1-An)/(1+An)
两式相比得(A(n+1)-1)/(A(n+1)+2)=-0.5(An-1)/(An+2)
所以{(An-1)/(An+2)}是首项为1/4，公比为-0.5的等比数列
解得An=(2^(n+1)+2*(-1)^(n+1))/(2^(n+1)-(-1)^(n+1))