Question

设数列{An}的前n项和为Sn,已知A1=1,Sn+1=4An+2 求:(1)设bn=An+1-2An,证明数列{bn}是等比数列(2)求数

Answer 1

解:
(1)
由a1=1,及S(n+1)=4an+2
得:a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5
∴b1=a2-2a1=3
由S(n+1)=4an+2
①
则当n
≥
2时,有Sn=4a(n-1)+2
②
②-①得:
a(n+1)=4an-4a(n-1)
∴a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]
又bn=a(n+1)-2an
∴bn=2b(n-1)
∴{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列
(2)
由(1)可得:
bn=a(n+1)-2an=3•2^(n-1)
∴[a(n+1)]/[2^(n+1)]-(an)/(2^n)=3/4
∴数列{(an)/(2^n)}是首项为1/2,公差为3/4的等差数列
∴(an)/(2^n)=1/2+(n-1)3/4=3/4n-1/4
即an=(3n-1)•2^(n-2)
(n∈N*)