Question

如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的圆O与BC交于点D

Answer 1

1.连结AD和OD。则角ADC＝直角（直径上的圆周角是直角），于是AD垂直于CB。而AB＝AC，则AD平分CB（等腰三角形的高与中线合一），于是CD＝DB。又，OC＝OA，于是OD是三角形ABC的中位线，于是有OD//AB且OD=1/2*AB（中位线平行于第三边并等于第三边的一半）
由于AB垂直于FE，而OD//AB，于是OD垂直于FE。
又，OD=1/2*AB=1/2*AC=圆O的半径，所以DE是圆O的切线。
2.如上已证，OD=1/2*AB=半径，于是AB=2OD=4，则AE=AB-BE=4-1=3
过C作CG垂直FE于G，由于DC=DB（如上已证）又有对顶角和直角，则RT三角形CDG全等于BDE，于是CG＝BE＝1
同时易证，三角形FCG相似于FAE，于是FC/FA=CG/AE=1/3
设FC=x，则FA=x+4
于是x/(x+4)=1/3
x+4=3x
x=2
FA=2+4=6
于是cosA=AE/FA=3/6=1/2