Question

一道利用泰勒公式的证明题

Answer 1

对于f(x)在x0点的泰勒公式，由于f'(x0)=f''(x0)=...=fn(x0)=0，所以泰勒公式中从第二项到第n项都为0，所以只剩下第一项和第n+1项，即f(x)=f(x0)+[f(n+1)(x0)/(n+1)！](x-x0)^(n+1)，所以此式左右两边求导得f'(x)=[f(n+1)(x0)/n！](x-x0)^n。(1)若n为奇数，则在x0的左右两侧，(x-x0)^n符号相反，即f'(x)在x0左右两侧符号相反，即f(x)在x0左右两侧单调性相反，所以x0是f(x0)的极值点；(2)若n为偶数，同理可知，f'(x)在x0两侧符号相同，即此时f(x)在x0点不改变单调性，所以此时x0不是极值点。证毕