Question

如图，正方形ABCD点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ吹⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=根号2

Answer 1

1
·由已知B、C、Q、P四点共圆，命题成立。
2
过P点向BC引垂线，垂足为M，过P点向CD引垂线，垂足为N，
易知ΔPBM≌ΔPQN
∴BP=PQ
3
仍由B、C、Q、P四点共圆，可得。
4
BM＝ND＝1，再由ΔPBM≌ΔPQN
，QN＝1，故QD＝2，∴CD＝4，从而可证。

Answer 2

分析：根据对角互补的四边形，则四边形共圆，根据圆周角定理得出∠BPC=∠BQC，根据∠PBC=∠PQD，过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，推出正方形AEPM，根据勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1，证△BEP≌△PFQ，推出PE=FQ=1，BP=PQ，求出DQ、DC，即可．

解答：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCQ=90°，
∵PQ⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠BPQ+∠BCQ=180°，
∴B、C、Q、P四点共圆，
∴∠PBC=∠PQD，∠BPC=∠BQC，
∴①正确；③正确；
过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC，∠DAC=∠BAC，∠DAB=90°，
∴∠MAE=∠PEA=∠PMA=90°，PM=PE，
∴四边形AMPE是正方形，
∴AM=PM=PE=AE，
∵AP=√2，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE²+PE²=（√2）²，
解得：AE=AM=PE=PM=1，
∴DF=1，
设AB=BC=CD=AD=a，
则BE=PF=a-1，
∵∠BEP=∠PFQ=∠BPQ=90°，
∴∠BPE+∠EBP=90°，∠EPB+∠FPQ=90°，
∴∠EBP=∠FPQ，
在△BEP和△PFQ中
∠EBP=∠FPQ，
BE=PF，
∠BEP=∠PFQ，
∴△BEP≌△PFQ（ASA），
∴PE=FQ=1，BP=PQ，
∴②正确；
∴DQ=1+1=2，
∵Q为CD中点，
∴DC=2DQ=4，
∴正方形ABCD的面积是4×4=16，
∴④正确；

点评：本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，有一定的难度．

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