Question

已知a,b∈R+,且a+b=1,求证..

Answer 1

（1）因为a+b=1
所以1/a+1/b
=(a+b)/a+(a+b)/b
1的代换
=1+a/b+1+b/a
≥2+2倍根号下（b/a）*(a/b）=4
基本不等式
当且仅当a=b=1/2时取“=”
（2）(1/a+1)(1/b+1)
=（（a+b)/a+1)*((a+b)/b+1)
=(2+b/a)*(2+a/b)
=4+2b/a+2a/b+1
=5+2(b/a+a/b)
≥5+2*2倍根号下（b/a）*(a/b）=9
当且仅当a=b=1/2时取“=”1的代换
1的代换

Answer 2

1/a+1/b=(a+b)/ab,由于a+b=1
=1/ab
又1=a+b>=2根号(ab)
所以ab<=4
从而1/a+1/b=1/ab>=4
等号当且仅当a=b=1/2时取到
1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a
（由于b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2）
>=3+2+2+2
=9

Answer 3

(1）因为a+b=1
所以1/a+1/b
=(a+b)/a+(a+b)/b
1的代换
=1+a/b+1+b/a
≥2+2倍根号下（b/a）*(a/b）=4
基本不等式
当且仅当a=b=1/2时取“=”
（2）(1/a+1)(1/b+1)
=（（a+b)/a+1)*((a+b)/b+1)
=(2+b/a)*(2+a/b)
=4+2b/a+2a/b+1
=5+2(b/a+a/b)
≥5+2*2倍根号下（b/a）*(a/b）=9
当且仅当a=b=1/2时取“=”1的代换
1的代换