求幂函数n从1到无穷，（-1）^(n-1)x^n/n的和函数
3个回答
展开全部
简单计算一下即可，答案如图所示
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
展开全部
用课本提供的方法，后一项的系数除以前一项的系数的绝对值的极限为1.则r=1/1=1.即收敛半径为1.然后讨论端点的收敛性，当x=1时，级数为交错调和级数，收敛，当x=-1时，为调和级数，发散。收敛域为（-1,1】.
和函数：s（x）=∞∑（n=1）(-1)^n/n*x^n，
对s（x）求导，
有s`（x）=∞∑（n=1）(-1)^n*x^(n-1),右边为等比级数，公比为-x。则右边=-1/（1+x）。
对s`（x）积分（从0到x），得到s（x）=-ln（x+1）
和函数：s（x）=∞∑（n=1）(-1)^n/n*x^n，
对s（x）求导，
有s`（x）=∞∑（n=1）(-1)^n*x^(n-1),右边为等比级数，公比为-x。则右边=-1/（1+x）。
对s`（x）积分（从0到x），得到s（x）=-ln（x+1）
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
展开全部
先求其收敛半径R=[lim(1/n)^(1/n)]^(-1)=1
∴x∈(-1,1)时，有S(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^n/n
则S'(x)=∑{[(-1)^n]x^n/n}'=∑[(-1)^(n-1)]x^(n-1)
=∑(-x)^(n-1)=1/(1+x)
∴S(x)=∫S'(x)=ln(1+x),x∈(-1,1)
最后再考虑端点。
显然x=1时，该级数变为Leibniz级数，从而收敛
而x=-1时，该级数为调和级数的-1倍，从而发散
所以综上知S(x)=ln(1+x),x∈(-1,1]
∴x∈(-1,1)时，有S(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^n/n
则S'(x)=∑{[(-1)^n]x^n/n}'=∑[(-1)^(n-1)]x^(n-1)
=∑(-x)^(n-1)=1/(1+x)
∴S(x)=∫S'(x)=ln(1+x),x∈(-1,1)
最后再考虑端点。
显然x=1时，该级数变为Leibniz级数，从而收敛
而x=-1时，该级数为调和级数的-1倍，从而发散
所以综上知S(x)=ln(1+x),x∈(-1,1]
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
更多回答（1）
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
