Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆c的圆心坐标为（2，-2），半径为根号2，函数y=-x+2的图像与x轴

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆c的圆心坐标为（2，-2），半径为根号2，函数y=-x+2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点

（1）连接CO，求证：CO⊥AB

（2）若三角形POA是等腰三角形，求点P坐标

（3）当直线PO与圆C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与圆C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t,MO=s,求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围。

Answer 1

1,
第一问很简单我就不说了,斜率之积是-1,CO⊥AB
2,
分两种讨论
y=-x+2,令y=0,得A(2,0)令x=0,得B(0,2)
点O到AB的距离为√2,所以OP∈[√2,2]
当P在点B时,此时三角形POA为等腰三角形(OA=OP)
AB=2√2>2(说明AB上存在一点使得AO=AP)
当AO=AP,记P(x0,-x0+2)
√[(x0-2)²+(-x0+2)²]=2
解得x0=2+-√2
综上P(0,2),P(2+√2,-√2),P(2-√2,√2)
3,
设P点经过直线y=kx
由题意d=|2k-2|/√(1+k²)=√2
解得k=2+-√3
所以∠POA=15`或∠POA=75`
由上述可知PO在相切时取得最大值2√6/3,PO经过圆心时取得最小值√2
所以t∈[√2,2√6/3)
s,t关系你自己找吧,我告诉你怎么做
设lOP:y=kx,然后与y=-x+2联立,解出P,然后表示OP,即t
先算不经过圆心的情况,CM,CO,OM满足CM²+OM²=OC²,表示出OM,即s,再把经过圆心的情况合并,发现也满组解出的s的关系式
再观察t,s关系,t的范围上面已经算过了,直接代入