Question

高等数学三重积分求解

如下图三道题，麻烦各位大佬帮忙看看怎么求解，最最好有详细过程谢谢了

Answer 1

8.M=∫∫∫Ω (x²＋y²＋z²)dv
=∫∫(x²＋y²≤1) (x²＋y²＋z²)dxdydz
换成柱坐标x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，θ∈[0，2π]，r∈[0，1]，z∈[0，r]
dxdydz=rdrdθdz
=∫(0，2π) dθ∫(0，1) rdr∫(0，r) (r²＋z²)dz
=2π∫(0，1) 4/3 r^4dr
=2π×4/15
=8π/15
9.∫∫(x²＋y²≤1) (1＋xy)dxdydz
换成柱坐标x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，θ∈[0，2π]，r∈[0，1]，z∈[0，2]
dxdydz=rdrdθdz
=∫(0，2π) dθ∫(0，1) (2r＋r³sin2θ)dr
=∫(0，2π) (1＋1/4 sin2θ)dθ
=θ|(0，2π)
=2π
10.∫∫∫Ω (x²＋y²)dxdydz
换成球坐标x=rcosθsinφ，y=rsinθsinφ，z=rcosφ，θ∈[0，2π]，φ∈[0，π/4]，r∈[0，2∨2]
dxdydz=r²sinφdθdφdr
=∫(0，2π) dθ∫(0，π/4) dφ∫(0，2∨2) r^4sin³φdr
=2π×128∨2/5 ∫(0，π/4) －sin²φdcosφ
=256∨2π/5 ∫(0，π/4) (cos²φ－1)dcosφ
=256∨2π/5 (1/3 cos³φ－cosφ)|(0，π/4)
=256∨2π/5 (1/3 ×∨2/4－∨2/2－1/3＋1)
=64(8∨2－10)π/15

Answer 2

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