Question

一道数学问题，求解

Answer 1

设N＜M
则最小的正方形为1*1，最大的正方形为N*N
1*1，显然有N*M个
2*2的，往长度为M的方向移动，可以移M-2格，加上初始的一个，即M方向可以有M-1个“2格”，同理，N方向可以有N-1个“2格”。共（M-1）（N-1）个2*2的正方形
同上理
3*3，共（M-2）（N-2）个2*2的正方形
4*4，共（M-3）（N-3）个2*2的正方形
……
i*i(1≤i≤N)，共（M-i+1）（N-i+1）个2*2的正方形
总共∑（M-i+1）（N-i+1）=∑MN-（M+N）∑（i-1）+∑（i-1）²
=MN²-N(M+N)(N-1）/2+N(N-1)(2N-1)/6个正方形
矩形（包括正方形）
N方向可以选1格1格的，共N个
也可以选2格2的，共N-1个
……
选i格i格，共N-i+1个
所以N方向共1+2+3+……N=（∑i[N])个
同理，M方向共（∑i[M])个，
共有（∑i[N])(∑i[M])=MN(M+1)(N+1)/4个矩形
所以长方形=总-正方形=MN(M+1)(N+1)/4-[MN²-N(M+N)(N-1）/2+N(N-1)(2N-1)/6]
化简比较复杂，慢慢来。