lim[√1/(n^2+1)+√1/(n^2+2)+…+√1/(n^2+n)](n→∞)=
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简单计算一下即可，答案如图所示
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√1/(n^2+1)
<
1/n
√1/(n^2+2)
<
1/n
...
√1/(n^2+n)
<
1/n
所以该式子<
n*(1/n)
=
1
此外，
√1/(n^2+1)
>
1/(n+0.5)
√1/(n^2+2)
>
1/(n+0.5)
...
√1/(n^2+n)
>
1/(n+0.5)
所以该式子>
n*1/(n+0.5)
=
n/(n+0.5)
用夹逼法，该式子的极限是1
<
1/n
√1/(n^2+2)
<
1/n
...
√1/(n^2+n)
<
1/n
所以该式子<
n*(1/n)
=
1
此外，
√1/(n^2+1)
>
1/(n+0.5)
√1/(n^2+2)
>
1/(n+0.5)
...
√1/(n^2+n)
>
1/(n+0.5)
所以该式子>
n*1/(n+0.5)
=
n/(n+0.5)
用夹逼法，该式子的极限是1
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夹逼定理,把分母分别放大和缩小
令所求式子为an,则有
(1+2+...+n)/(n²+n)≤an≤(1+2+...+n)/(n²+1)
1/2≤an≤(n²+n)/(2n²+2)
从而当n→∞时,不等式右边的极限为1/2,而左边极限显然为1/2.由夹逼定理得,an极限为1/2
令所求式子为an,则有
(1+2+...+n)/(n²+n)≤an≤(1+2+...+n)/(n²+1)
1/2≤an≤(n²+n)/(2n²+2)
从而当n→∞时,不等式右边的极限为1/2,而左边极限显然为1/2.由夹逼定理得,an极限为1/2
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