Question

空间曲线参数方程的形式如何求切线方程和 法平面方程。

Answer 1

曲线的参数方程为：｛x=t-sint,y=1-cost,z=4sin(t/2) ,
分别对t求导，得 x '=1-cost,y '=sint,z '=2cos(t/2) ,
将 t0=π/2 分别代入，可得切点坐标为（π/2-1,1,2√2）,
切线方向向量 v=（1,1,√2）,
所以，切线方程为 (x-π/2+1)/1=(y-1)/1=(z-2√2)/√2 ,
法平面方程为 1*(x-π/2+1)+1*(y-1)+√2*(z-2√2)=0 。
扩展资料：
参数方程的应用
在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。
柯西中值定理
如果函数f(x）及F(x）满足：
⑴在闭区间[a,b]上连续；
⑵在开区间(a,b)内可导；
⑶对任一x∈(a,b),F'(x）≠0。
那么在(a,b)内至少有一点ζ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'（ζ）/F'（ζ）成立。
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数。
譬如一个圆柱：
r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]=[acos(u),asin(u),v]
参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标x，y与时间t之间有函数关系x=f(t)，y=g(t)，这两个函数式中的变量t，相对于表示质点的几何位置的变量x，y来说，就是一个“参与的变量”。
这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量x，y及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。
用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解。
根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。
希望可以帮助你哦！

Answer 2

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曲线的参数方程为
｛x=t-sint,y=1-cost,z=4sin(t/2)
,
分别对
t
求导,得
x
'=1-cost,y
'=sint,z
'=2cos(t/2)
,
将
t0=π/2
分别代入,可得切点坐标为（π/2-1,1,2√2）,
切线方向向量
v=（1,1,√2）,
所以,切线方程为
(x-π/2+1)/1=(y-1)/1=(z-2√2)/√2
,
法平面方程为
1*(x-π/2+1)+1*(y-1)+√2*(z-2√2)=0
.