Question

求证:设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，若｜A｜≠0，则｜A*｜=｜A｜n-1

Answer 1

当
r(a)=n时,有a可逆，|a|≠0，由
aa*
=
|a|e，说明a*可逆，r(a*)=n
当r(a)=n-1时，有a不可逆，|a|=0所以
aa*
=
|a|e=0,所以r(a*)<=n-r(a)=1。
而矩阵a的秩为n-1,所以说在a中的n-1阶子式中至少有一个不为0，所以a*中有元素不为0，即a*≠0，r(a*)>=1。
所以
r(a*)=1
当r(a)<n-1,即r(a)<=n-2时，说明矩阵的秩是小于等于n-2的，那么他的所以n-1阶子式全为0，就是说a*中的每个元素全为0.a*=0.
所以r(a*)=0