Question

为什么一个函数在一点处可导但却不一定解析？

Answer 1

因为解析和可导不是一回事，对一元函数没什么区别，但若是要学复变函数的话这个区别比较重要。
拉格朗日的解析函数论里指出函数在一点处解析的概念是在该点处可以展开成无穷阶泰勒级数。对于复变函数，函数在一点处解析的概念是在该点以及其邻域内可导。
这是因为复解析函数具有特殊性质“无穷阶可微性”，即在它的解析域内（这里的解析当然是针对复变函数的解析概念来说的），具有任意阶导数。而实函数却没有这样的性质。故复变函数解析的概念同样等价于拉格朗日的表述。
定义：若函数在某点z以及z的临域处处可导，则称函数解析。
特点：可导不一定解析，解析一定可导。
临域的概念比较复杂，要有微积分比较基础的知识，判别方法，对于二元实函数，需要满足柯西黎曼方程即C-R方程。
例：
1、设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定,那么f(z)点z=x+iy∈D可微的充要条件是
在点z=x+iy,u(x,y)及v(x,y)可微,并且əu/əx=əv/əy,əu/əy=-əv/əx
2、设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内确定,那么f(z)在区域D内解析的充要条件是：
u(x,y)及v(x,y)在D内可微,而且在D内成立əu/əx=əv/əy,əu/əy=-əv/əx
扩展资料：
函数的解析需注意的问题
1、函数f(x)在区域D内解析与在区域D内可导是等价的。
2、函数f(x)在某一点处解析与在该点处可导是绝对不等价的。函数在某点解析意味着函数在该点及其某个邻域内处处可导；而函数在某点可导，在该点邻域内函数可能解析，也可能不解析。
3、
解析函数的导数仍然是解析的
参考资料：搜狗百科-解析
参考资料：搜狗百科-可导

Answer 2

拉格朗日的解析函数论里指出函数在一点处解析的概念是在该点处可以展开成无穷阶泰勒级数。对于复变函数，函数在一点处解析的概念是在该点以及其邻域内可导。这是因为复解析函数具有特殊性质“无穷阶可微性”，即在它的解析域内（这里的解析当然是针对复变函数的解析概念来说的），具有任意阶导数。而实函数却没有这样的性质。故复变函数解析的概念同样等价于拉格朗日的表述。