Question

函数f(x)=a^x+logax在区间【1，2】上的最大值与最小值之和为a 求a

Answer 1

当a=1时f(x)=x+logx在区间【1，2】上梯增且大于0

当a大于1时函数y=a^x单调梯增，且ax在区间【1，2】上大于1，又因为函数y=logax单调梯增，所以y=logax在区间【1，2】上大于0，而y=a^x始终大于0。
由题意可知最大值为正，最小值为负
，所以a小于1大于0。

对f(x)=a^x+logax求导得f(x)‘=a^xIna+1/<xIna>
，因为a大于0小于1，f(x)‘单调梯增，当x=2时取最大值为a^2Ina+1/<2Ina>小于0，所以f(x)‘在在区间【1，2】上小于0所以f(x)=a^x+logax在在区间【1，2】上单调梯减，当x=1时为最大，x=2时为最小，a+loga=1/2，a^2+log2a=-3/4解出a

Answer 2

设最大值为x，最小值为y
则x+y=-1/4

xy=-3/8
x=1/2，y=-3/4

若0＜a＜1，则y=a^x和y=loga（x）在【1，2】均递减，所以最大值为f（1）=a=1/2，最小值为f（2）=1/4-1=-3/4，符合题意
若a＞1，则同理递增，最小值为f（1）=a=-3/4，不合题意
综上a=1/2