Question

已知方程x^2-(tanθ+i)x-(i+2)=0证明：对任意的θ≠k∏+∏/2...

已知方程x^2-(tanθ+i)x-(i+2)=0 证明：对任意的θ≠k∏+∏/2（k∈R）方程无纯虚数根.

Answer 1

条件“θ≠k∏+∏/2（k∈R）”中应该是
k∈Z,否则
θ
不是实数了
,tanθ
也就没意义了.若有纯虚数根x=ai（a为实数,a≠0,i为虚数单位）,代入原方程得
-a²-(tanθ+i)ai-(i+2)=0,即
tanθ=(-a²+a-(i+2))/(ai)右边分子分母都乘以i,得
tanθ=((-a²i+ai-2i)+1)/(-a)即
tanθ=(-1/a)+((a²-a+2)/a)i因为
a为实数,a≠0,所以
(-1/a)
为非零实数,且((a²-a+2)/a)亦为实数,又a²-a+2=(a-1/2)²+7/4≠0,所以((a²-a+2)/a)为非零实数,所以
(-1/a)+((a²-a+2)/a)i
为虚数,但
θ≠kπ+π/2
（k∈Z）时,tanθ为实数,所以
tanθ=(-1/a)+((a²-a+2)/a)i
自相矛盾,所以原方程无纯虚数根.