Question

关于反函数的导数？

感觉自己绕弯里了，反函数的导数是原函数的导数的倒数。sinx的导数是cosx，arcsinx的导数却不是1/cosx是哪里出问题了吗

Answer 1

其实是课本对反函数的导数的计算原理表达不清，因为这里必须要明确的是，到底是谁对谁求导。因为通常来讲，我们都会把函数表示成  或  的形式，如果反函数也这样表达，那么就不能说“反函数的导数是原函数导数的倒数”。

那么反函数的导数到底应该怎么求呢？现在假设，函数  的反函数是  ，那么就有，若 ，则  。反函数的导数，指的是在后者中  对  求导。假设  是定义域内的单调函数，  ，则根据复合函数求导法则，有 
代入  有 

也就是说，并非原函数的导数和反函数的导数互为倒数，而是当两个变量  之间具有函数关系时，  。即，因变量关于自变量的函数的导数，是自变量关于因变量的反函数的导数的倒数。

Answer 2

dy =f'(x)
比如f(x)=y，它的导函数是
dx
，即因变量y的微小变化值比上自变量x的微
小变化值。
现在写出f(x)的反函数g(y)=x，注意反函
数的因变量和自变量。写出它的导函数，同样
是因变量的微小变化值比上自变量的微小变化
值，
=g(x)。很显然，能看出来反函数
的导数就是原函数的导数的倒数。
dx
=g(x)=
dy
我记不清记法是不是这样的了，有错误敬请指
出。
公式，比如对x2求导就是2x，对x2积分就是13
x3+c，对sinx求导就是cosx，对1/x积分就是
Inx+c....但是，对于有的形式的函数或表达式，
我们对它进行求导或积分等处理的时候就稍微费
力一些，而且也不是太好记，可能学过之后隔了
很长一段时间再去看就忘掉了。那么，今天给大
家带来的是反三角函数的求导与积分。
我们先来聊一聊什么叫做反三角函数。其实
跟反函数的道理一样，就是比如说我现在有一个
函数y=f(x)，那么它的反函数就是一个函数g(y)
在每一处的g(y)都等于x，那么这样的函数x=g（y）
叫做函数y=f(x）的反函数，表达式为：y=f^（-1)
(x)。
由此，假如我们现在有一个函数叫做
y=sinx，那么它的反函数就是y=sin~(-1)x，也可
以写为y=arcsinx。对于cosx,tanx,cotx,cscx,
secx等等，也是同样的。

Answer 3

y=arcsinx 即 x=siny，求导得 1=cosy * y' ，
因此 y'=1/cosy (注意不是 cosx) = 1/√[1-(siny)^2] = 1/√(1-x^2) 。
主要是反函数不能写成 y=sinx ，因为要保持原来的 x、y 关系不变。