Question

已知函数f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且对任意x∈(0，+∞)恒有f...

已知函数f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且对任意x∈(0，+∞)恒有f[f(x)-lnx]=1，若存在x0∈(0，+∞)使不等式f(x0)+f′(x0)-c≤0成立，则c的最小值是( ).A.0B.1C.2D.不存在

Answer 1

解答:解:函数f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，则函数f(x)必有反函数，记为f-1(x)，
且对任意x∈(0，+∞)恒有
f[f(x)-lnx]=1，
①不妨取x=1，可得
f[f(1)]=1，
②
对②式两边取对应关系f-1，可得f(1)=f-1(1)，由反函数性质知f(1)=1.
对①式两边取对应关系f-1，可得f(x)-lnx=f-1(1)=f(1)=1，
即函数f(x)的解析式为:f(x)=1+lnx，其导函数f′(x)=
1
x
.
构造函数g(x)=f(x)+f′(x)=
1
x
+1+lnx，则g′(x)=
1
x
-
1
x2
=
x-1
x2
.
可知，在x=1处，g′(x)=0，且在区间(0，1)上g′(x)＜0，即函数g(x)递减，
在区间(1，+∞)上，g′(x)＞0，即函数g(x)递增，
故在x=1处，函数g(x)取到极小值g(1)=2，也是最小值.
若存在x0∈(0，+∞)使不等式f(x0)+f′(x0)-c≤0成立，
即c大于等于函数g(x)的最小值，
即c≥2，可得c的最小值为2.
故选C.