Question

积分到底是什么

Answer 1

积分学（integral calculus)数学分析的分支学科。即研究各种积分(理论、计算和应用）以及它们之间的关系的学科。 积分学也是高等数学的基础学科之一。积分学的研究对象也是函数，其研究方法是另一类极限值的计算，牵涉到曲边形面积和体积的计算，其研究任务是积分的性质、法则和应用。同样由研究的函数是 一元和多元而分为 一元函数积分学和多元函数积分学。

数学分析中的积分指的是一元和多元实函数在黎曼意义下的积分。各类积分中最基 本的是定积分和作为微分逆运算并为计算定积分服 务的不定积分，其他的还有重积分、曲线积分、曲面 积分和各种情形下的反常积分。这些都是定积分的推广。

研究积分(包括定积分与不定积分)的性质、计算方法与应用的一个微积分学分支。积分学的出现，比微分学早得多，在古希腊数学中，已有积分思想的萌芽。

开普勒、卡瓦莱利、费马、瓦里斯、帕斯卡等人，为积分学的形成奠定了基础。

在1696年，约翰·伯努利把这门学科定名为“积分学”，取代以前由莱布尼兹命名的“求和学”。

学科发展
积分这个词是雅各布第一 ·伯努利（Bemoul一 li,Jacob I )于1690年首先使用的。

1696年，莱布尼茨(Leibniz,G. W.)与他确定用积分学这个词代替 莱布尼茨原来使用的求和计算这个名称。积分学源于求曲线形的面积、弧长和立体体积等几何问题，以及由变速运动物体的速度求它经过的路程的力学问 题。它的思想萌芽可追溯到古希腊时期用以求面积和体积的穷竭法。莱布尼茨实质上接受了卡瓦列里(Cavalieri,(F.)B.)不可分量法的思想，将图形看成 无穷多个宽度为无穷小的矩形之和。

牛顿（Newton，I.)从另一途径导致积分概念.他首先确定曲线下的面积*5对曲线的横坐标^的变化率（即导数）为纵坐标>这样面积S就 可以由3<经过反微分得出.在本例中曲线是y =

莱布尼茨的积分是无穷多个无穷小之和，牛顿的积分则是反 微分。两人又几乎同时互相独立地得出积分与微分的互逆关系（前者在1675年，后者在1666年），由此得到在很多情况下可行的积分计算方法，即通过求原函数算积分，这样积分才成为真正有意义的概念，它也标志着积分学这个新学科的创立。
积分学的理论表现在两个主要方面： 函数的积分与集合的测度。

集合的测度理论起源于欧多克斯与阿基米德的工作中. 由康托与若当进行了推广. 随着波雷尔，勒贝格及卡拉西奥多里的研究成果，它有了现在的形式。

函数积分的理论是随帕斯卡，费马，莱布尼茨及欧拉的工作开始的.柯西与黎曼加以精确化并推广了它.以后随勒贝格，拉东及黎兹的工作，使它有了现在的形式。

由丹尼尔引入的测度一般理论使上述两个方面统一了起来。

积分理论与原函数理论之间的联系由勒贝格，斯蒂尔吉斯及当儒瓦进行了研究。

测度论与概率论之间的联系由波雷尔，辛钦，柯尔莫哥罗夫给出。