Question

A矩阵乘A的转置 的秩等于A的秩，那这里是为什么？

A矩阵乘A的转置的秩等于A的秩，那这里是为什么？红色划线部分，为什么是小于等于... A矩阵乘A的转置 的秩等于A的秩，那这里是为什么？红色划线部分，为什么是小于等于 展开

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

A是实矩阵就可以实矩阵是指A中元素都是实数不一定是对称矩阵.
此时
r(A^TA)
=
r(A)
证明方法是用齐次线性方程组
AX=0
与
A^TAX=0
同解.
A不一定是方阵,
不一定可逆同济大学编写高教出版的教材上写的很清楚。A乘A的转置x=0与Ax=0是同解方程。同解故等秩。证明略。

Answer 3

用一个不等式直接证明：
R（A）+R（B）-n <= R(AB) <= min{ R(A），R（B）}
n+n-n <= R(A^T A) <= n