Question

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lga-lgb=lgcosB-...

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lga-lgb=lgcosB-lgcosA≠0． （1）判断△ABC的形状； （2）设向量m=（2a，b），n=（a，-3b），且m⊥n，（m+n）•（-m+n）=14，求a，b，c．

Answer 1

解：（1）由题lga+lgcosA=lgb+lgcosB，故acosA=bcosB，
由正弦定理sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
又cosA＞0，cosB＞0，故A，B∈(0，π2)，2A，2B∈（0，π）
因a≠b⇒A≠B，故2A=π-2B．
即A+B=π2，故△ABC为直角三角形
（2）由于
m⊥n，所以2a2-3b2=0①
且（m+n）•（-m+n）=n2-m2=14，即8b2-3a2=14②
联立①②解得a2=6，b2=4，故在直角△ABC中，a=6，b=2，c=10