Question

已知数列{an}满足条件:(n-1)an+1=(n+1)(an-1)(n∈N*),求an通项公式。

已知数列{an}满足条件:(n-1)an+1=(n+1)(an-1)(n∈N*),求an通项公式。（前面的an+1中n+1为底数，后面an-1中n为底数）

求过程！~~~~~~求详解
条件里还有a2=6 忘记打了

Answer 1

(n-1)an+1=(n+1)(an-1)可化为an+1/(n+1)=an/(n-1)-1/(n-1)，（前面的an+1中n+1为底数）
两边同时除以n，可得：an+1/n(n+1)=an/n(n-1)-1/n(n-1)，设数列an/n(n-1)为bn，
则bn+1=bn-[1/n(n-1)](n>1)，将1/n(n-1)裂项为1/(n-1)-1/n
则bn+1=bn+[1/n-1/(n-1)]………（1）
bn=bn-1+[1/(n-1)-1/(n-2)]…………（2）
……
b3=b2+[1/2-1/1]…………（n-1)
将以上（n-1)个式子相加，得bn+1=b2+(1/n)-1
又b2=a2/2，所以b2=3，因此bn+1=3+(1/n)-1，即bn+1=2+1/n，即bn=1+1/(n-1)(n>1)
所以an=n(n-1)bn=n(n-1)+n，（n>1）
将(n-1)an+1=(n+1)(an-1)中n代1，则可得a1=1
因为a1符合an的通项，所以可写在一起，即an=n(n-1)bn=n(n-1)+n

Answer 2

(n-1)a(n+1)=(n+1)[a(n)-1],n=1,2,...
n=1,0=2[a(1)-1], a(1)=1.
n=2,a(3)=3[a(2)-1].
n=3,2a(4)=4[a(3)-1],a(4)=2[a(3)-1]=2[3a(2)-4],
由于a(2)可取任何值，因此{a(n)}的通项公式不存在哈~~~