Question

单调函数f(x)满足，对任意x,y，f(x+y)=f(x)+f(y)。证明f(x)是连续函数

Answer 1

首先f(x)的定义域是R
显然有f(0)=0
下面只考虑单调增的情况（单调减的话-f(x)连续）
f(2x)=f(x+x)=2f(x)
f(x)/2=f(x/2)
用数学归纳法可以得到
f(x)/2^n=f(x/2^n)
设C>0
f(C)=f(x+C)-f(x)>=f(x)-f(x)=0
1，假如对于每个正实数C，f(C)=0
那么对于每个负数x,f(x)=f(x-x)-f(-x)=0
那么f(x)恒等于0，显然成立
2，假如存在正实数C,使f(C)>0
下面用定义证明连续性
对于任意的正实数d
显然存在N使得d>f(C)/2^n=f(C/2^n)
我们取ε=C/2^n
如果c属于(-ε,+ε)
|f(x+c)-f(x)|=|f(c)|=f(c)<f(ε)=d
有定义f(x)是连续函数