Question

求助一道高一数学题····························

已知函数f（x）是定义在[-1,1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1,1],都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x>0时，有f（x）>0
1、判断函数的奇偶性；
2、判断函数f（x）在[-1,1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
3、设f（1）=1，若f（x）<m²-2am+1，对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解:(1)∵函数f(x)是定义在[-1,1]上的函数,
∴令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,
令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x),
即函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数.
(2)函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数．
理由是:设任意x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),
∵x1<x2,∴x2-x1>0,
∴f(x2-x1)>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数．
(3)∵f(x)在在[-1,1]上递增,
∴ 当x∈[-1，1]时，f(x)≤f(1)=1
由若f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]时恒成立
得，对所有a∈[-1,1]时，1≤m^2-2am+1
即m^2-2am≥0恒成立
令g(a)=-2ma+m^2
当a=1时,有g(1)=-2m+m^2,
当a=-1时,有g(-1)=2m+m^2,
解得m≤-2或m=0或m≥2
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞]

Answer 2

1,令y= -x,则f(x+y)=f(0)=f(x)+f(-x),奇函数
2,任取x1,x2属于[-1,1],且x1<x2;
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2+(-f(x1))=f(x2-x1)
因为且x>0时，有f（x）>0(已知），且x2-x1>0
所以f(x2-x1)>0
即f(x2)-f(x1)>0,增函数
3,因为恒成立，所以f(x)的最大值都要比m²-2am+1的最小值还要小；
f(x)是增函数，最大值是f(1)=1;
m²-2am+1=-2ma+(m²+1), 看成关于a 的一次函数，分类讨论：
1) m<0时，-2ma+(m²+1)单调递增，最小值是a= -1是取得，即2m+m²+1
所以2m+m²+1>1,解得m< -2;
2) m=0时，m²-2am+1=1, 并不恒大于f(x),舍去；
3) m>0时，-2ma+(m²+1)单调递减，最小值是a= 1是取得，即 -2m+m²+1
所以-2m+m²+1>1,解得m>2;
综上所述，m属于(-∞, -2)∪(2,+∞)

Answer 3

1、奇函数（令y=0，得f（0）=0，再令x=-y，得f（x）+f（-x）=0，再有定义域对称）
2、增函数满足【f（x+y）-f（x）】/y=f(y)/y>0即可。你令y>0，就能得到。
3、f(1)=1,f(0)=0,f(-1)=-1。
f（x）<（m-a）^2+1-a^2，当且仅当m=a时有最小值1-a^2<=1。（注意原式不等号，是大于，而不是大于等于）所以实数m不能取到全部的定义域。解方程m²-2am+1>1得：
当0<a<=1时，m>2a或m<0
当-1<=a<=0时，m<2a或m>0

打得很辛苦，采纳吧～

Answer 4

1，当X Y都取0时，f（0）=f（0）+f（0） 则 f（0）=0， 令X=-Y 则 f（0）=f（x）+f（-x）=0，
所以为 奇函数
2 为增函数 f（x+y）=f（x）+f（y），当 对于任意的 x>0 有f（x）>0 ，则 对于 任意的 y 有
x+y> y并且 f（x+y）> f（y），因此为增函数 。
3，由2 可以知道 x∈[-1,1],f（x）<=1 因此 m²-2am+1>=1对于a ∈[-1,1]恒成立，
则 m(m-2a)>=0在a ∈[-1,1]恒成立，因此 m>=2或 m<=-2

Answer 5

1）令x=y=0，则f（0）=2f（0），即f（0）=0
令y=-x 则f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）=-f（-x），奇函数
2） 增函数
3） f（x）单调增，则f（x）max=f（1）=1
则0<m²-2am m不等于0 2a<m 所以m>2

Answer 6

你好！
http://wenwen.soso.com/z/q142472575.htm
祝新春快乐！