Question

a，b属于正实数，令不等式（a+b）³<=k(a³+b³)成立的k的最小值是多少

Answer 1

立方差公式
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
从而以上不等式等价于
(a+b)^2<=k(a^2-ab+b^2)
整理出来
(k-1)(a^2+b^2)>=(k+2)ab
而a^2+b^2>=2ab
可以得到
(k-1)*2ab>=(k+2)ab
2(k-1)>=k+2
k>=4
即k最小值4

Answer 2

a＞0，b＞0
所以a+b>0
两边同乘a+b
原式=2+a/b+b/a+k≥0
2+a/b+b/a≥-k用均值不等式
因为
a/b+b/a≥2根号a/b*b/a=2
所以
4≥-k
k≥4所以k最小值为4