Question

三重积分∫∫∫zdv,积分区域由x^2 y^2 z^2≥z和x^2 y^2 z^...

三重积分∫∫∫zdv,积分区域由x^2 y^2 z^2≥z和x^2 y^2 z^2＜2z围成 如题用球面积分我做出来的是∫(0-2π)dθ∫(0-2/π)dφ∫(cosφ-2cosφ)(ρ^3sinφcosφ)dρ请问哪里错了...为什么和直角坐标求出来的结果不一样...顺便求柱面坐标的方法

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

你球坐标的式子没错啊,可能是直角坐标的式子列错了呢?球坐标：小球体：r²
=
rcosφ
==>
r
=
cosφ大球体：r²
=
2rcosφ
==>
r
=
2cosφ∫∫∫Ω
z
dV=
∫(0→2π)
dθ
∫(0→π/2)
sinφ
dφ
∫(0→2cosφ)
rcosφ
*
r²
dr-
∫(0→2π)
dθ
∫(0→π/2)
sinφ
dφ
∫(0→cosφ)
rcosφ
*
r²
dr=
4π/3
-
π/12=
5π/4柱坐标：{
r²
+
z²
=
z
{
r²
+
z²
=
2z{
r²
+
(z
-
1/2)²
=
1/4
{
r²
+
(z
-
1)²
=
1∫∫∫Ω
z
dV=
∫(0→2π)
dθ
∫(0→1)
r
dr
∫(1
-
√(1
-
r²)→1
+
√(1
-
r²))
z
dz-
∫(0→2π)
dθ
∫(0→1/2)
r
dr
∫((1/2)(1
-
√(1
-
4r²))→(1/2)(1
+
√(1
+
4r²)))
z
dz=
4π/3
-
π/12=
5π/4直角坐标：{
x²
+
y²
+
z²
=
z
==>
x²
+
y²
+
(z
-
1/2)²
=
(1/2)²{
x²
+
y²
+
z²
=
2z
==>
x²
+
y²
+
(z
-
1)²
=
1∫∫∫Ω
z
dV=
∫(-
1→1)
dx
∫(-
√(1
-
x²)→√(1
-
x²)
dy
∫(1
-
√(1
-
x²
-
y²)→1
+
√(1
-
x²
-
y²))
z
dz-
∫(-
1/2→1/2)
dx
∫(-
√(1/4
-
x²)→√(1/4
-
x²))
dy
∫(1/2
-
√(1/4
-
x²
-
y²)→1/2
+
√(1/4
-
x²
-
y²))
z
dz=
4π/3
-
π/12=
5π/4