Question

高中的一道函数题

已知a>0且a≠1，f(x)=x^2-a^x,当x∈(-1,1)时，均有f(x)<1/2,则实数a的取值范围是？
A.(0,1/2]∪[2,正无穷） B.[1/4,1)∪(1,4] C.[1/2,1)∪(1,2] D(0,1/4]∪[4,正无穷）
怎么做？

Answer 1

当x∈(-1,1)时, 即 -1<x<1
则 0<x^2<1 => 0-a^x < x^2-a^x < 1-a^x => -a^x < f(x) < 1-a^x
因为此时f(x)<1/2
所以1-a^x <= 1/2 => a^x>=1/2
若a>1 则 a^x当x=-1时在[-1,1]上有最小值 所以 a^-1 >= 1/2 => a<2
若1>a>0 则 a^x当x=1时在[-1,1]上有最小值 所以 a^1 >= 1/2 => a>1/2
所以选C

Answer 2

f(x)=x^2-a^x,当x∈(-1,1)时，均有f(x)<1/2。
∴x^2-1/2<a^x,①
抛物线弧y=x^2-1/2,x∈(-1,1)的端点为A(-1,1/2),B(1,1/2).
指数曲线y=a^x(a>0,a≠1）是单调的，
①<==>a>1时它过A,或在A的上方，a^(-1)>=1/2,1<a<=2;
0<a<1时它过B,或在B的上方,1/2<=a<1.
选C.