Question

已知函数,,是常数.求的单调区间;若有极大值,求的取值范围.

已知函数,,是常数. 求的单调区间; 若有极大值,求的取值范围.

Answer 1

对函数求导,当导数大于时可求单调增区间,当导数小于时可求单调减区间.先对分情况求出的定义域,再在区间和区间上研究函数的单调性,进而研究极值的存在性,即可求出的范围.
解:设,其判别式,当时,,,在定义域上是增函数;当时,由解得:,(每个根分)当时,,;此时,,即在定义域上有两个零点,在区间上,,,为上的增函数在区间上,,,为上的增函数在区间上,,,为上的增函数.当时,,,在区间上,,;在区间上,,,(分)当时,函数的定义域是,,在上有零点,在上有零点;在区间和上,,在和上为增函数;在区间和上,,在和上为减函数.综上:当时,函数的递增区间是;当时,的递增区间是和,递减区间是;当时,的递减区间是;递增区间是;当时,的递减区间和,递增区间是和.当时,的定义域是;当时,的定义域是,,令,则(每个导数分)在区间上,,是增函数且;在区间上,,是减函数且;当时,.故当时,,无极大值;当时,,方程在区间和上分别有一解,,此时函数在处取得极大值;当时,方程在区间上有一解,此时函数在处取得极大值.综上所述,若有极大值,则的取值范围是.
本题主要考查通过求函数的导数来确定函数增减区间的问题,考查利用导数研究函数的极值问题,有一定的综合性.